§3 古典概型
定义1.3.1（古典概型）
满足下列性质的随机现象称为古典概型：
- 在试验中他的全部可能结果个数有限。
- 每个事件发生的概率相等。
古典概型是有限样本空间的特例。
选
Ω
=
{
ω
1
,
ω
2
,
⋯
,
ω
n
}
\Omega = \{ \omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n}\}
Ω={ω1,ω2,⋯,ωn} 作为样本空间，且此时应该有
P
(
ω
1
)
=
P
(
ω
2
)
=
⋯
=
P
(
ω
n
)
=
1
n
.
P(\omega_{1}) = P(\omega_{2}) = \dotsb =P(\omega_{n}) = \frac{1}{n}.
P(ω1)=P(ω2)=⋯=P(ωn)=n1.
在古典概型中，事件
A
A
A 的概率是一个分数，其分母是样本点的总数
n
n
n，分子是事件
A
A
A 中所包含的样本点个数
m
m
m。由于样本点
ω
1
,
ω
2
,
⋯
,
ω
n
\omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n}
ω1,ω2,⋯,ωn 的出现必然导致
A
A
A 的出现，故习惯上常称其为
A
A
A 的有利场合。因此：
P
(
A
)
=
m
n
=
A
的
有
利
场
合
数
目
样
本
点
总
数
.
P(A) = \frac{m}{n} = \frac{A的有利场合数目}{样本点总数}.
P(A)=nm=样本点总数A的有利场合数目.
下面介绍基本的组合分析公式。事实上，全部的组合分析公式推导均基于乘法原理和加法原理。
从包含有
n
n
n 个不同元素的总体中取出
r
r
r 个进行排列，此时既要考虑到所取出的元素，亦要考虑其取出的顺序。
这样的排列可分为两类：有放回的选取，和不放回的选取。
定义1.3.2（有重复的排列）
在有放回的选取中：从 n n n 个不同元素中取出 r r r 个进行排列，称这种排列为有重复的排列，其总数有 n r n^{r} nr 种。
定义1.3.3（选排列和全排列）
在不放回选取中，从 n n n 个不同元素中取出 r r r 个进行排列，其总数为
A n r = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r + 1 ) A^{r}_{n} = n(n-1)(n-2)\dotsb(n-r+1) Anr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)
称其为选排列。特别地，当 r = n r = n r=n 时，称为全排列。
n
n
n 个不同元素的全排列数为：
P
n
=
n
(
n
−
1
)
⋯
3
⋅
2
⋅
1
=
n
!
P_{n} = n(n-1)\dotsb3\cdot 2 \cdot 1 = n!
Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!
定义1.3.4（组合）
从 n n n 个不同元素中取出 r r r 个而不考虑其顺序，称为组合。其总数为：
C n r = ( n r ) = A n r r ! = n ! ( n − r ) ! C^{r}_{n} = \binom{n}{r} = \frac{A^{r}_{n}}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!} Cnr=(rn)=r!Anr=(n−r)!n!
(
r
n
)
\binom{r}{n}
(nr)称为二项系数，是下列二项展开式的系数：
(
a
+
b
)
n
=
∑
r
=
0
n
(
n
r
)
a
r
b
n
−
r
.
(a+b)^{n} = \sum^{n}_{r=0} \binom{n}{r}a^{r}b^{n-r}.
(a+b)n=r=0∑n(rn)arbn−r.
若
r
1
+
r
2
+
⋯
+
r
k
=
n
r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = n
r1+r2+⋯+rk=n，将
n
n
n 个不同的元素分成
k
k
k 个部分，则不同的分法有
n
!
r
1
!
r
2
!
⋯
r
k
!
\frac{n!}{r_{1}! r_{2}!\dotsb r_{k}!}
r1!r2!⋯rk!n!
种，上式中的数称为多项系数，因其为
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
k
)
n
(x_{1} + x_{2} + \dotsb + x_{k})^{n}
(x1+x2+⋯+xk)n 展开式中
x
1
r
1
,
x
2
r
2
,
⋯
,
x
k
r
k
x_{1}^{r_{1}},x_{2}^{r_{2}},\dotsb,x_{k}^{r_{k}}
x1r1,x2r2,⋯,xkrk 的系数。当
k
k
k 为
2
2
2 时即为二项系数。
若
n
n
n 个元素中有
n
1
n_{1}
n1 个带脚标
“
1
”
“1”
“1” ,有
n
2
n_{2}
n2 个带足标
“
2
”
“2”
“2” ,
⋯
\dotsb
⋯,有
n
k
n_{k}
nk 个带脚标
“
k
”
“k”
“k”，且
n
1
+
n
2
+
⋯
+
n
k
=
n
n_{1} + n_{2} + \dotsb + n_{k} = n
n1+n2+⋯+nk=n，从这
n
n
n 个元素中取出
r
r
r 个，使得带有足标
“
i
”
“i”
“i” 的元素有
r
i
r_{i}
ri 个，而
r
1
+
r
2
+
⋯
+
r
k
=
r
.
r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = r.
r1+r2+⋯+rk=r. 则不同取法的个数为：
(
n
1
r
1
)
(
n
2
r
2
)
⋯
(
n
k
r
k
)
\binom{n_{1}}{r_{1}}\binom{n_{2}}{r_{2}}\dotsb \binom{n_{k}}{r_{k}}
(r1n1)(r2n2)⋯(rknk)
从
n
n
n 个不同的元素中有重复地取出
r
r
r 个，不计顺序，则不同的取法有:
(
n
+
r
−
1
r
)
\binom{n + r - 1}{r}
(rn+r−1)
关于二项系数的一些公式：
-
在二项系数的定义式中，若约定 0 ！ = 1 0！ = 1 0！=1，则对 ∀ 0 ≤ k ≤ n \forall 0\leq k\leq n ∀0≤k≤n，成立
( n k ) = ( n n − k ) . \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. (kn)=(n−kn). -
对正整数 n n n 和 k k k，若 n < k n < k n<k，则
( n k ) = 0. \binom{n}{k} = 0. (kn)=0.
将排列公式推广至
r
r
r 为正整数，而
n
n
n 为任意实数
x
x
x 的情形：此时记
A
x
r
=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
r
+
1
)
A_{x}^{r} = x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1)
Axr=x(x−1)(x−2)⋯(x−r+1)
同样定义
(
x
r
)
=
A
x
r
r
!
=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
r
+
1
)
r
!
\binom{x}{r} = \frac{A_{x}^{r}}{r!} = \frac{x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1)}{r!}
(rx)=r!Axr=r!x(x−1)(x−2)⋯(x−r+1)
并且约定：
(
x
0
)
=
1.
\binom{x}{0} = 1.
(0x)=1.
