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知识点讲解
17．2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)
2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；(难点)
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．(重点)
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】判断三角形的形状
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【类型二】利用勾股定理的逆定理证明垂直关系
如图，已知在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD.求证：CE⊥EF.
解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．
方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．
【类型三】勾股数
方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题
方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
探究点二：互逆命题与互逆定理
写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题．
解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；
(3)内错角相等，假命题；
(4)等边三角形有一个角是60°，真命题．
方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可．
三、板书设计
1．勾股定理的逆定理及勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．互逆命题与互逆定理
在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆．
课时练习
勾股定理的逆定理习题
1．请完成以下未完成的勾股数：
(1)8，15，______；(2)10，26，_____．
2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是______．
3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是( )．
A．+1，-1，2 B．7，24，25
C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5
4．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是( )．
A．12．5 B．12 C． D．9
5．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
9．如图3中的(1)是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c；如图3中(2)是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形推出a2+b2=c2．(勾股定理)
(3)假设图中的(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图中的(1)所给的直角三角形拼出另一种能推出a2+b2=c2的图形吗？请画出拼后的示意图．(无需证明)
参考答案
1．17，24 2．略 3．D 4．B 5．
6．提示：∵AB⊥AC，AB=4，DA=3，∴BD=5，又BC=12，CD=13，∴CD2=BC2+BD2，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD 7．36，提示：连结AC得两个直角三角形 8．50千米
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