六进制

一.进制转换

1. 我们先看看十进制与二进制

（1）进制转换本质

我们使用短除法将十进制转换成二进制。

“数制”只是一套符号系统来表示指称“量”的多少。我们用“1”这个符号来表示一个这一“量”的概念。自然界的“量”是无穷的，我们不可能为每一个“量”都造一个符号，这样的系统没人记得住。所以必须用有限的符号按一定的规律进行排列组合来表示这无限的“量”。符号是有限的，这些符号按照某种规则进行排列组合的个数是无限的。十进制是10个符号的排列组合，二进制是2个符号的排列组合。

在进行进制转换时有一基本原则：转换后表达的“量”的多少不能发生改变。二进制中的111个苹果和十进制中的7个苹果是一样多的。

可以看出相邻的数位间相差进制的一次方。

进制这事儿，说到底就是位值原理，即：同一个数字，放在不同的数位上，代表不同大小的“量”。例如：十进制中，百位上的1表示100，十位上的1表示10。

任何进制中，每个数都可以按位权展开成各个数位上的数字乘以对应数位的位权，再相加的形式，如：

十进制的123=1×100+2×10+3×1

十进制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1

问：为啥相应的数位是1000、100、10、1？为啥不是4、3、2、1？

答：十进制，满十进一，再满十再进一，因此要想进到第三位，得有10×10；第4位得有10×10×10

这样我们就知道了：

对10进制，从低位到高位，依次要乘以10^0，10^1,10^2,10^3……，也就是1、10、100、1000

对2进制，从低位到高位，依次要乘以2^0，2^1,2^2,2^3……，也就是1、2、4、8、……

下面我们开始转换进制（以十进制换成二进制为例）：

原来十进制咱们的数位叫 千位、百位、十位……

现在二进制数位变成了八位、四位、二位…… 

模仿上面十进制按位权展开的方式，把二进制数1011按权展开： 1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11

接下来我们进行十进制往二进制的转换：

比较小的数，直接通过拆分就可以转换回去

比如13，我们把数位摆好八位、四位、二位，不能写十六了，因为一旦“十六”那个数位上的符号是“1”，那就表示有1个16，即便后面数位上的符号全部是“0”，把这个二进制数按权位展开后，在按照十进制的运算规律计算，得到的数也大于13了。那最多就只能包含“八”这个数位。 13-8=5，5当中有4，5-4=1

好啦，我们知道13=1*8+1*4+0*2+1*1 把“1”、“1”、“0”“1”这几个符号放到数位上去：

八位、四位、二位、一位

1 1 0 1

于是十进制数13=二进制数1101

想要知道其中的道理的话，请仔细品味以下的递归原理（不知道递归没关系）：

一个十进制数321的末尾是1，意味着一定是……+1，省略号部分一定是10的倍数，所以一个十进制数末尾是1意味着十进制数除以进制10一定余1。所以第一次除以10之后的余数，应该放在十进制的最后一个数位“个位”，也就是说个位上的符号是1。

类比，一个二进制数111（注意，数值不等于上面十进制的111）末尾是1，意味着一定是……+1，前面的省略号部分都是2的倍数。所以一个二进制数末尾是1，意味着它对应的十进制数除以进制2一定余1。所以第一次除以2之后的余数，应该放在二进制的最后一个数位“一位”，也就是说一位上的符号是1。

如果一个十进制数321“十位”是2，我们希望把它转换为（1）的情况。那么我们把这个十进制数的末尾抹掉，也就是减去“个位”上的1，再除以进制10，得到32。这样原来“十位”上的“2”就掉到了“个位”上。再把32做（1）的处理。

类比，如果一个二进制数111“二位”是1，我们希望把它转换为（1）的情况，那么我们把这个二进制数的末尾抹掉，也就是减去“一位”上的1，再除以进制2，得到11。这样原来“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做（1）的处理。

总结：其实这个过程就是把各个数位上的符号求出来的过程。

现在你应该可以回答以下问题了：为什么短除法可以实现进制的转换呢？为什么每次要除以进制呢？为什么要把余数倒着排列呢？

R进制转换成十进制就是按权位展开，把展开式放到十进制下，再按照“十进制”的运算规律计算。因为是十进制，所以就允许使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用写成指数，而可以用另外的八个符号来表示了。

（2）十进制--->二进制

对于整数部分，用被除数反复除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。另外，所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。

十进制转二进制

对于小数部分，采用连续乘以基数2，并依次取出的整数部分，直至结果的小数部分为0为止。故该法称“乘基取整法”。

给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？

10进制数转换成二进制数，这是一个连续除以2的过程：

把要转换的数，除以2，得到商和余数，

将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。

听起来有些糊涂？结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。

“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。

十转二示意图

那么：要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是3，还不是0，所以继续除以2。

那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。

“将商继续除以2，直到商为0……”

现在商是1，还不是0，所以继续除以2。

那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1

“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”

好极！现在商已经是0。

我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！

6转换成二进制，结果是110。

把上面的一段改成用表格来表示，则为：

（在计算机中，÷用 / 来表示）

（3）二进制--->十进制

二进制数转换为十进制数

二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……

所以，设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为：

下面是竖式：

0110 0100 换算成十进制

从右往左开始换算

第0位 0 * 2^0 = 0

第1位 0 * 2^1 = 0

第2位 1 * 2^2 = 4

第3位 0 * 2^3 = 0

第4位 0 * 2^4 = 0

第5位 1 * 2^5 = 32

第6位 1 * 2^6 = 64

第7位 0 * 2^7 = 0

公式：第N位2(N)

---------------------------

100

用横式计算为：

0 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 0 * 2^3 +0 * 2^4 +1 * 2^5 + 1 * 2^6+0 * 2^7 = 100

除0以外的数字0次方都是1，但0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：

 1 * 2^2 + 1 * 2^5 +1 * 2^6= 100

2.下面我们来讨论十进制与六进制的关系

（1）十进制--->六进制

十进制数转换成六进制的方法，和转换为二进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成6。

来看一个例子，如何将十进制数120转换成六进制数。

用表格表示：

120转换为8进制，结果为：320。

（2）六进制--->十进制

六进制就是逢6进1。

六进制数采用 0～5这六数来表达一个数。

六进制数第0位的权值为6的0次方，第1位权值为6的1次方，第2位权值为6的2次方……

所以，设有一个八进制数：1505，转换为十进制为：401

用竖式表示：

1507换算成十进制。

第0位 5* 6^0 = 5

第1位 0 * 6^1 = 0

第2位 5 * 6^2 = 180

第3位 1 * 6^3 = 216

二.算法实现

1.输入十进制n的值：

n=int(input())

2.利用函数求六进制

（1）定义了一个名为 a 的函数，该函数接受一个整数参数 n。

（2）在函数内部，定义了一个字符串 m，它包含了六进制数的字符表示：'012345'，这是六进制数字0到5的字符表示。

（3）初始化一个空字符串 i 用于存储六进制表示。

（4）检查如果 n 等于0，就返回字符串 '0'，因为六进制中0表示为0。

（5）使用一个 while 循环，不断执行以下步骤，直到 n 变为0： a. 计算 n 对6取余，将余数存储在变量 liu 中。 b. 将 liu 对应的六进制字符从字符串 m 中取出，并将它附加到字符串 i 的前面。 c. 将 n 除以6并取整数部分，更新 n 的值。

（6）最终，当 n 变为0时，i 中包含了 n 的六进制表示。

代码如下：

def a(n):
    m = '012345'
    i = ''
    if n==0:
        return '0'
    while n:
        liu=n%6
        i=m[liu]+i
        n=n//6
    return i

3.打印六进制的值

print(a(n))

4.全部代码如下：

n=int(input())
def a(n):
    m = '012345'
    i = ''
    if n==0:
        return '0'
    while n:
        liu=n%6
        i=m[liu]+i
        n=n//6
    return i
print(a(n))