第三节：齐次方程
一、齐次方程
如果一阶微分方程可以写成以下形式：
那么就称这种方程为齐次方程。例如：
是齐次方程，因为它可以化为：
即：
𝑑𝑦𝑑𝑥=𝜙(𝑦𝑥).dxdy=ϕ(xy).
在齐次方程中，引入新的未知函数：
就可以将它化为可分离变量的方程。根据（3-2）：
将这些代入方程（3-1）中，得到：
即：
分离变量，得到：
𝑑𝑢𝜙(𝑢)−𝑢=𝑑𝑥𝑥.ϕ(u)−udu=xdx.
两端积分，得到：
求出积分后，再以 𝑦𝑥xy 替代 𝑢u，便得到所给齐次方程的通解。
二、例子
例1： 解方程：
解： 原方程可以写成：
因此是齐次方程。令：
则：
于是原方程变为：
即：
分离变量，得：
两端积分，得：
计算积分并将结果表示成方程的通解。
二、可化为齐次的方程
有一些非齐次微分方程可以通过适当的变换化为齐次方程。例如，考虑方程：
当 𝑀M 和 𝑁N 中只包含齐次项时，这个方程就是齐次的。否则，它是非齐次的。对于非齐次的情形，可以使用下面的变换将其化为齐次方程：
令：
其中 ℎh 和 𝑘k 是待定的常数。那么：
代入方程（3-3），得：
通过方程组确定 ℎh 和 𝑘k：
如果这个方程组的系数行列式不为零，则可以求得 ℎh 和 𝑘k，从而原方程（3-3）便化为齐次方程。
例3： 解方程：
解： 所给方程属于（3-3）类型。令：
则：
代入原方程得：
通过求解方程组：
得到：
ℎ=3,𝑘=−2.h=3,k=−2.
因此，令：
𝑥=𝑋+3,𝑦=𝑌−2,x=X+3,y=Y−2,
原方程变为：
或：
𝑑𝑦𝑑𝑥=2𝑋+𝑌𝑋+𝑌.dxdy=X+Y2X+Y.
这是齐次方程。令：
𝑢=𝑌𝑋,u=XY,
则：
𝑌=𝑋𝑢,𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑢+𝑋𝑑𝑢𝑑𝑥.Y=Xu,dxdy=u+Xdxdu.
将这些代入方程，得到：
𝑢+𝑋𝑑𝑢𝑑𝑥=2+𝑢1+𝑢.u+Xdxdu=1+u2+u.
即：
分离变量，得：
两端积分，得：
积分后可以得到方程的通解。
