Z变换理论梳理_Z变换的性质

大家好，我是知秋君，一个会写博客吟诗的知秋码农。今天说一说Z变换理论梳理_Z变换的性质,希望能够帮助大家进步!!!

【自控笔记】6.3 Z变换理论

本文框架如下：

一、Z变换定义

Z变换是研究离散系统的数学工具，与拉式变换在连续系统中的地位是一样的。Z变换只对离散信号而言，Z变换对连续信号无意义。它并不是一种新的数学变换，它只是在离散信号拉普拉斯变换中的 $e^{Ts}$ 转换成 $z$ 。

设连续信号的拉普拉斯变换为
$F(s)=L[f(t)]=\int_0^∞f(t)e^{-sT}dt$

连续信号 $f (t)$ 采样后信号的离散信号 $f^*(t)$ 为
$f^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)δ(t-nT)$

它的拉普拉斯变换为(实位移定理)
$F^*(s)=L[f^*(t)]=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)e^{-nTs}$
由于s的超越函数 $e^{-nTs}$ 不好计算，于是令 $z=e^{-nTs}$ 就有了Z变换
$F(z)=F^*(s)_{s=\frac{1}{T}lnz}=L[f^*(t)]=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)z^{-n}$
如果上式收敛，则定义 $F (z)$ 为 $f^*(t)$ 的Z变换，记作 $Z[f^*(t)]=F(z)$ 。

注意：有时候也写作 $Z[f(t)]=Z[f^*(t)]=F(z)$ ，只是因为采样时刻 $f (t)$ 的值就是 $f (n T)$ , 并不能认为 $F (z)$ 有对应的 $f (t)$ ， $F (z)$ 只和 $f^*(t)$ 唯一对应。

二、Z变换求法

1、级数求和法
对于形如 $f^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)δ(t-nT)$
的离散信号，可将其展开为
$f^*(t)=f(0)δ(t)+f(T)δ(t-T)+f(2T)δ(t-2T)+...+f(nT)δ(t-nT)+...$

对其进行拉式变换得
$F^*(s)=f(0)·1+f(T)e^{-Ts}+f(2T)e^{-2Ts}+...+f(nT)e^{-nTs}+...$

令 $s=\frac{1}{T}lnz$ ，只要知道 $f (t)$ 在各个时刻采样的数值，即可得到Z变换。

例1：求单位阶跃函数的Z变换。
解：由于1(t)在任何采样点的时刻均为1，则有
$Z[1(t)]=z^0+z^{-1}+z^{-2}+...+z^{-n}+...=\frac{z}{z-1}\quad|z|>1$

例2：求指数函数 $f(t)=e^{-at}(a>0)$ 的Z变换。
解：由于在采样时刻 $f(nT)=e^{-anT}$ ，根据定义式有
$F(z)=1+e^{-aT}z^{-1}+e^{-2aT}z^{-2}+...+e^{-naT}z^{-n}+...=\frac{z}{z-e^{-aT}}\quad|z|>e^{-aT}$

注意，掌握级数求和法应该要建立在高等数学无穷级数这一章节的内容之上。抓住麦克劳林公式是构建函数与无穷级数之间的桥梁这一关键点，并能熟练掌握常见的麦克劳林公式。

2、部分分式法

部分分式法就是将离散信号的时域形式或拉氏变换形式展开成部分分式，然后再查表对照即可。

3、留数计算法

$F(z)=Z[f^*(t)]=\sum_{i=0}^{k}Res[F(s){\frac{z}{z-e^{s_iT}}}]_{s\to s_i}=\sum_{i=0}^{k}R_i$
式中 $R_i=Res[F(s){\frac{z}{z-e^{s_iT}}}]_{s\to s_i}$ 是 $F(s){\frac{z}{z-e^{s_iT}}}$ 在 $s=s_i$ 处的留数。
当 $F (s)$ 具有一阶极点 $s=s_i$ 时，其留数 $R_i$ 为
$R_i={\lim_{s \to s_i}}(s-s_i)F(s)[{\frac{z}{z-e^{s_iT}}}]$
当 $F (s)$ 具有q阶极点 $s=s_i$ 时,其留数 $R_i$ 为
$R_i=\frac{1}{(q-1)!}{\lim_{s \to s_i}}\frac{d^{q-1}}{ds^{q-1}}[(s-s_i)^qF(s){\frac{z}{z-e^{s_iT}}}]$

三、Z变换基本定理

1、线性定理
若 $Z[f_1(t)]=F_1(z),Z[f_2(t)]=F_2(z)$ 且 $a_1,a_2$ 均为常数，则
$F(z)=Z[a_1f_1(t)±a_2f_2(t)]=a_1F_1(z)±a_2F_2(z)$

2、延迟定理(负偏移定理)
设 $Z [f (t)] = F (z)$ ，且 $t < 0$ 时，f(t)=0, f(t)在时间上产生 $k T$ 时间的延迟后得 $f (t - k T)$ ,则有
$Z[f(t-kT)]=z^{-k}F(z)$
该定理说明f(t)在时域中延迟k个周期T后，其Z变换变为原函数f(t)的Z变换F(z)乘以延迟算子 $z^{-k}$ ，相当于连续系统中拉式变换得微分定理，用得比较多。

3、超前定理(正偏移定理)
若 $Z [f (t)] = F (z)$ ，则有 $Z[f(t+kT)]=z^{k}[F(z)-\sum_{m=0}^{k-1}f(mT)z^{-m}]$

4、复位移定理
若 $Z [f (t)] = F (z)$ ,则
$Z[f(t)e^{±at}]=F(ze^{±aT})$

5、初值定理
若 $Z [f (t)] = F (z)$ ,且 $\lim_{z \to \infty }F(z)$ 存在，则
$f(0)=\lim_{z \to \infty} F(z)$

6、终值定理
若 $Z [f (t)] = F (z)$ ,且 $F (z)$ 在以原点为圆心的单位原上和原外均无极点存在，则有
$f(\infty)=\lim_{n \to \infty} F(nT)=\lim_{z \to 1} [(z-1)F(z)]$

7、复微分定理
若 $Z [f (t)] = F (z)$ ,则
$Z[tf(t)]=-zT\frac{dF(z)}{dz}$

8、卷积定理
卷积定理说明: 两个离散函数序列卷积的Z变换等于它们各自Z变换的乘积。
设 $f (k t)$ 和 $g (k t)$ 为两个离散函数序列，则它们的卷积
$c(kT)=f(kt)*g(kt)=\sum_{n=0}^{k}g(nT)f(kT-nT)=\sum_{n=0}^{k}f(nT)g(kT-nT)$
其Z变换为：
$C (z) = Z [c (k T)] = Z [f (k t) * g (k t)] = Z [f (k T)] \cdot Z [g (k T)] = G (z) F (z)$
其中，
$G(z)=\sum_{k=0}^{\infty}g(kT)·z^{-k}$

$F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)·z^{-k}$

四、Z反变换

Z反变换记作 $Z^{-1}[F(z)]=f^*(t)$ ，注意，Z反变换只能求出采样的离散函数 $f^*(t)$ 或 $f (n t)$ ，而不能求出连续函数 $f (t)$ 。

1、长除法
用 $F (z)$ 的分子去除分母，可以求出按 $z^{-n}$ 降幂排列的级数展开形式，然后用Z反变换求出相应的离散函数脉冲序列 $f^*(t)$ 。

2、部分分式法

部分分式法就是将 $F (z)$ 展开成部分分式得到 $f^*(t)$ 或 $f (n T)$ ，然后再查表对照即可。

3、留数法

$f(nT)=\frac{1}{2πj}\int_cF(z)z^{n-1}dz=\sum_{i=1}^{n}Res[F(z)z^{n-1}]$
当 $F (z)$ 具有一阶极点 $z=z_i$ 时，其留数 $R_i$ 为
$R_i={\lim_{z \to z_i}}[(z-z_i)F(z)z^{n-1}]$
当 $F z s)$ 具有q阶极点 $z=z_i$ 时,其留数 $R_i$ 为
$R_i=\frac{1}{(q-1)!}{\lim_{z \to z_i}}\frac{d^{q-1}}{ds^{q-1}}[(z-z_i)^qF(z)z^{n-1}]$

五、Z变换的局限

1、Z变换只能反映函数时间函数在采样时刻的瞬时值，而不能反映采样点间的信息。

2、一般的系统初值为0，根据初值定理
${\lim_{t \to 0}f(t)}={\lim_{s \to \infty}sG(s)}=\sum_{i=1}^{n}R_i$

如果在采样开关和 $G (s)$ 之间有零阶保持器，则一定条件下的 $G (s)$ 在t=0时刻，不为0，会发生跳变，这样采样输出 $c^*(t)$ 与 $c (t)$ 之间会有较大的差别。

一、Z变换定义

二、Z变换求法

三、Z变换基本定理

四、Z反变换

五、Z变换的局限

六、变换表（附）

知秋君

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