CP7主变量，特解

编程笔记 • 2024-08-08 09:12 • 阅读 27

知道了矩阵的列空间和子空间以后，如何求解呢？矩阵的零空间可以通过方程AX=0求解，列空间则是其各列的线性组合。

零空间求解

$A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10 \end{}$

先对A进行消元，消元的过程就是解方程组过程中方程组的线性组合，因此不会影响解，也就是零空间。

$A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10 \end{}\rightarrow \begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&0&0 \end{}$

消元之后，第一行主元是1，第二行是2，第三行全是0。最终消元得到的矩阵，只有两个非零主元（主元的定义是先对矩阵A作若干初等行变换，化为简化行梯矩阵B后，B中各行第一个非零元就是矩阵A的主元。）

这个主元的个数也就是矩阵的秩R=2，对应主元的列称作主元列，其余列成为自由列。

特解

将自由列对应的解进行赋值，例如上述第一和第三列是主元列，第二和第四列是自由列，我们赋值 x_2=1,x_4=0 那么推出 $x_1+2+2x_3=0\,\,\,\,2x_3=0$ ，可以解出 x_3=0,x_1=-2 。因此方程的一个解是 $x=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0 \end{}$ ，如果取 x_2=0,x_4=1 则可以求得另一个解 $x=\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1 \end{}$