Cauchy应力张量σ，它包括作用于体积单元dV的所有应力。也就是说，包括剪切力和压力。
首先，对于Cauchy应力张量σ，有：
σ
=
[
σ
x
x
σ
x
y
σ
x
z
σ
y
x
σ
y
y
σ
y
z
σ
z
x
σ
z
y
σ
z
z
]
\mathbf σ= \begin{bmatrix} \sigma_{xx}& \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx}& \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx}& \sigma_{zy}& \sigma_{zz}\\ \end{bmatrix}
σ=⎣⎡σxxσyxσzxσxyσyyσzyσxzσyzσzz⎦⎤
每个二阶张量都可分解为 dev 部分（deviatoric）和 hyd 部分（hydrostatic）：
σ
=
σ
d
e
v
+
σ
h
y
d
\sigma=\sigma^{dev}+\sigma^{hyd}
σ=σdev+σhyd
任意矩阵
A
\mathbf A
A 的hyd 部分具有负压的含义，则：
− p = A h y d = 1 3 t r ( A ) − p I = A h y d I = 1 3 t r ( A ) I -p=\mathbf A^{hyd}=\frac 13tr(\mathbf A)\\[2ex] -p\mathbf I=\mathbf A^{hyd}\mathbf I=\frac 13tr(\mathbf A)\mathbf I −p=Ahyd=31tr(A)−pI=AhydI=31tr(A)I
则其dev部分可表示为：
σ
=
−
p
I
+
[
σ
−
1
3
t
r
(
σ
)
I
]
⏟
‘
剪
切
力
张
量
τ
‘
\sigma=-p\mathbf I+ \underbrace{ [\sigma-\frac 13 tr(\bf \sigma)\mathbf I] }_{`剪切力张量 \tau` }
σ=−pI+‘剪切力张量τ‘
[σ−31tr(σ)I]
由此，
σ
d
e
v
=
τ
\sigma^{dev}=\bf \tau
σdev=τ
σ
=
−
p
I
+
τ
\sigma=-p\bf I+\tau
σ=−pI+τ
注意：在流体力学中，通常使用分裂Cauchy张量作为剪切力张量和压力。而在固体力学中，使用柯西张量则不分裂。
参考：
Tobias Holzmann，Mathematics, Numerics, Derivations and OpenFOAM.
