蜣螂优化算法（Dung beetle optimizer，DBO）由Jiankai Xue和Bo Shen于2022年提出，该算法主要受蜣螂的滚球、跳舞、觅食、偷窃和繁殖行为的启发所得。
一、蜣螂优化算法
1.1蜣螂滚球
（1）当蜣螂前行无障碍时，蜣螂在滚粪球过程中会利用太阳进行导航，下图中红色箭头表示滚动方向
本文假设光源的强度会影响蜣螂的位置，蜣螂在滚粪球过程中位置更新如下：
x
i
(
t
+
1
)
=
x
i
(
t
)
+
α
×
k
×
x
i
(
t
−
1
)
+
b
×
Δ
x
,
Δ
x
=
∣
x
i
(
t
)
−
X
w
∣
\begin{aligned} x_{i}(t+1) &=x_{i}(t)+\alpha \times k \times x_{i}(t-1)+b \times \Delta x, \\ \Delta x &=\left|x_{i}(t)-X^{w}\right| \end{aligned}
xi(t+1)Δx=xi(t)+α×k×xi(t−1)+b×Δx,=∣xi(t)−Xw∣
其中，
t
t
t表示当前迭代次数，
x
i
(
t
)
x_{i}(t)
xi(t)表示第
i
i
i次蜣螂在第t次迭代中的位置信息，
k
∈
(
0
,
0.2
]
k∈(0,0.2]
k∈(0,0.2]为扰动系数，
b
b
b为
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1) 之间的随机数，
α
\alpha
α取 -1 或 1 ，
X
w
X^{w}
Xw表示全局最差位置，
Δ
x
\Delta x
Δx用于模拟光的强度变化。
其中，
α
\alpha
α的取值采用算法1：
（2）当蜣螂遇到障碍物无法前进时，它需要通过跳舞来重新调整自己，以获得新的路线。本文使用切线函数来模仿跳舞行为，以此获得新的滚动方向，滚动方向仅考虑为
[
0
,
π
]
[0,π]
[0,π]之间。
蜣螂一旦成功确定新的方向，它应该继续向后滚动球。蜣螂的位置更新如下：
x
i
(
t
+
1
)
=
x
i
(
t
)
+
tan
(
θ
)
∣
x
i
(
t
)
−
x
i
(
t
−
1
)
∣
x_{i}(t+1)=x_{i}(t)+\tan (\theta)\left|x_{i}(t)-x_{i}(t-1)\right|
xi(t+1)=xi(t)+tan(θ)∣xi(t)−xi(t−1)∣
其中，
θ
\theta
θ为偏转角，其取值为
[
0
,
π
]
[0,π]
[0,π]，采用算法2：
1.2蜣螂繁殖
在自然界中，雌性蜣螂将粪球被滚到适合产卵的安全地方并将其隐藏起来，以此为后代提供一个安全的环境。受此启发，因而提出了一种边界选择策略以此模拟雌性蜣螂产卵的区域：
L
b
∗
=
max
(
X
∗
×
(
1
−
R
)
,
L
b
)
U
b
∗
=
min
(
X
∗
×
(
1
+
R
)
,
U
b
)
\begin{array}{l} L b^{*}=\max \left(X^{*} \times(1-R), L b\right) \\ U b^{*}=\min \left(X^{*} \times(1+R), U b\right) \end{array}
Lb∗=max(X∗×(1−R),Lb)Ub∗=min(X∗×(1+R),Ub)
其中，
X
∗
X^{*}
X∗表示当前最优位置，
L
b
∗
L b^{*}
Lb∗和
U
b
∗
U b^{*}
Ub∗分别表示产卵区的下限和上限，
R
=
1
−
t
/
T
m
a
x
R=1−t/T_{max}
R=1−t/Tmax，
T
m
a
x
T_{max}
Tmax表示最大迭代次数，
L
b
Lb
Lb和
U
b
Ub
Ub分别表示优化问题的下限和上限。
雌性蜣螂一旦确定了产卵区，就会选择在该区域育雏球产卵。每只雌性蜣螂在每次迭代中只产生一个卵，可以看出，产卵区的边界范围是动态变化的，主要由R值决定。因此，育雏球的位置在迭代过程中也是动态的，其定义如下：
B
i
(
t
+
1
)
=
X
∗
+
b
1
×
(
B
i
(
t
)
−
L
b
∗
)
+
b
2
×
(
B
i
(
t
)
−
U
b
∗
)
B_{i}(t+1)=X^{*}+b_{1} \times\left(B_{i}(t)-L b^{*}\right)+b_{2} \times\left(B_{i}(t)-U b^{*}\right)
Bi(t+1)=X∗+b1×(Bi(t)−Lb∗)+b2×(Bi(t)−Ub∗)
其中，
B
i
(
t
)
B_{i}(t)
Bi(t)表示第t次迭代中第 i个育雏球的位置信息，
b
1
b_{1}
b1和
b
2
b_{2}
b2均为1×D的随机向量，D表示优化问题的维度。
产卵区的选择如算法3所示：
1.3蜣螂觅食
雌性蜣螂所产的卵会逐渐长大，一些已经成熟的小蜣螂会从地下出来寻找食物，小蜣螂的最佳觅食区建模如下：
L
b
b
=
max
(
X
b
×
(
1
−
R
)
,
L
b
)
U
b
b
=
min
(
X
b
×
(
1
+
R
)
,
U
b
)
\begin{array}{l} L b^{b}=\max \left(X^{b} \times(1-R), L b\right) \\ U b^{b}=\min \left(X^{b} \times(1+R), U b\right) \end{array}
Lbb=max(Xb×(1−R),Lb)Ubb=min(Xb×(1+R),Ub)
其中，
X
b
X^{b}
Xb表示全局最优位置，
L
b
b
L b^{b}
Lbb和
U
b
b
U b^{b}
Ubb分别表示最佳觅食区的下限和上限。
小蜣螂的位置更新如下：
x
i
(
t
+
1
)
=
x
i
(
t
)
+
C
1
×
(
x
i
(
t
)
−
L
b
b
)
+
C
2
×
(
x
i
(
t
)
−
U
b
b
)
x_{i}(t+1)=x_{i}(t)+C_{1} \times\left(x_{i}(t)-L b^{b}\right)+C_{2} \times\left(x_{i}(t)-U b^{b}\right)
xi(t+1)=xi(t)+C1×(xi(t)−Lbb)+C2×(xi(t)−Ubb)
其中，
x
i
(
t
)
x_{i}(t)
xi(t)表示第t次迭代中第i只小蜣螂在的位置，
C
1
C_{1}
C1是服从正态分布的随机数，
C
2
C_{2}
C2为(0,1)的随机向量。
1.4蜣螂偷窃
另一方面，一些蜣螂从其他蜣螂那里偷粪球，盗贼蜣螂的位置更新如下：
x
i
(
t
+
1
)
=
X
b
+
S
×
g
×
(
∣
x
i
(
t
)
−
X
∗
∣
+
∣
x
i
(
t
)
−
X
b
∣
)
x_{i}(t+1)=X^{b}+S \times g \times\left(\left|x_{i}(t)-X^{*}\right|+\left|x_{i}(t)-X^{b}\right|\right)
xi(t+1)=Xb+S×g×(∣xi(t)−X∗∣+∣∣xi(t)−Xb∣∣)
其中，
x
i
(
t
)
x_{i}(t)
xi(t)表示在第t次迭代中第i个盗贼蜣螂的位置，g为服从正态分布的1×D随机向量，S为常数。
1.5算法描述
滚球蜣螂、繁殖蜣螂、觅食蜣螂和偷窃蜣螂的比例分布如下：
DBO算法描述如下：
参考文献：Xue, J., Shen, B. Dung beetle optimizer: a new meta-heuristic algorithm for global optimization. J Supercomput (2022). https://doi.org/10.1007/s11227-022-04959-6
二、单仓库多旅行商问题
多旅行商问题（Multiple Traveling Salesman Problem, MTSP）是著名的旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的延伸，多旅行商问题定义为：给定一个𝑛座城市的城市集合，指定𝑚个推销员，每一位推销员从起点城市出发访问一定数量的城市，最后回到终点城市，要求除起点和终点城市以外，每一座城市都必须至少被一位推销员访问，并且只能访问一次，需要求解出满足上述要求并且代价最小的分配方案，其中的代价通常用总路程长度来代替，当然也可以是时间、费用等。单仓库多旅行商问题是其中一种多旅行商问题。
多旅行商问题（Multiple Traveling Salesman Problem, MTSP）：单仓库多旅行商问题及多仓库多旅行商问题（含动态视频）
单仓库多旅行商问题（Single-Depot Multiple Travelling Salesman Problem, SD-MTSP）：𝑚个推销员从同一座中心城市出发，访问其中一定数量的城市并且每座城市只能被某一个推销员访问一次，最后返回到中心城市，通常这种问题模型被称之为SD-MTSP。
三、求解结果
本文选取国际通用的TSP实例库TSPLIB中的测试集bayg29，bayg29中城市分布如下图所示：
本文采用蜣螂优化算法求解bayg29：
close all
clear
clc
%数据集参考文献 REINELT G.TSPLIB-a traveling salesman problem[J].ORSA Journal on Computing,1991,3(4):267-384.
global data StartPoint Tnum
% bayg29
Tnum=3;%旅行商个数（可以自行更改）
StartPoint=13; %选择起点城市（可以自行更改）
Dim=size(data,1)-1;%维度
lb=-100;%下界
ub=100;%上界
fobj=@Fun;%计算总距离
SearchAgents_no=100; % 种群大小（可以修改）
Max_iteration=3000; % 最大迭代次数（可以修改）
[fMin,bestX,curve]=DBO(SearchAgents_no,Max_iteration,lb,ub,Dim,fobj); %蜣螂优化算法
其中一次结果：
蜣螂优化算法的收敛曲线：
蜣螂优化算法求得的路径：
蜣螂优化算法求解的最短总路径:4417.8269
四、参考代码
文件夹内包含所有代码及使用说明，点击main.m即可运行，可更改旅行商个数及起点。
