集合
集合论基础
集合定义
- 集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。【朴素集合论】
- 外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 + 替换公理 + 正则公理 + (选择公理)【ZF© 公理化集合论】
集合的数学符号
通常情况下
- 用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A,B, C, · · · , A1,B1, C1, · · ·
- 用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · ·
常用集合
- 自然数集合 N
- 整数集合 Z
- 有理数集合 Q
- 实数集合 R
- ……
属于关系
- 若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a ∈ \in ∈ A
- 若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a ∉ \notin ∈/ A
集合表示
枚举法
列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · ·) 表示。
叙述法
通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。
P = { x | P(x) }
文氏图
文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。
集合基数
基数定义
集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
基数表达
- 若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
- 若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)
注意：B ={ a, { b, c } } ,|B|=2 （集合中包含一个集合，被包含的集合有2个元素，所以B的元素个数是2个不是3个）
空集
定义
不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅.
空集可以符号化为 ∅ = { x | x ≠ \neq = x}.（表达不唯一）
注意：| ∅ | = 0, | { ∅ } | = 1（前者是空集，后者是有一个集合，集合为空集，注意两者不同）
特点
空集是绝对唯一的，世上有且只有一个空集
全集
定义
针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E.
在文氏图一般使用方形表示全集。
特点
全集是相对唯一的，范围不同 -> 全集不同，同一个范围 -> 全集唯一
集合特性
集合中的元素是无序的
{1, 2, 3, 4} 与 {2, 3, 1, 4} 相同。
集合中的元素是不同的
{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 与 {1, 2, 3, 4} 相同。
子集与真子集
定义
设 A,B 是任意两个集合，
- 如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称做B 被 A 包含或A 包含B，记作B ⊆ A，否则记作B ⊈ A.
- 如果 B ⊆ A 并且 A ≠ \not= = B，则称 B 是 A 的真子集，也称做B 被 A 真包含或A 真包含 B，记作B ⊂ A，否则记作B ̸⊂ A.
补充：“⊆” 关系的数学语言描述为：B ⊆ A ⇔ 对 ∀x, 如果 x ∈ \in ∈ B ，x ∈ \in ∈ A
特点
- ∅ ⊆ A
- A ⊆ A
集合关系
集合的相等关系
- 具有相同的元素的两个集合, 此时称两个集合相等
- 外延性原理：两个集合 A 和 B 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 A = B, 否则 A 和 B不相等，记为：A ≠ \neq = B
集合的包含关系
- 假设 A 中含有 B 中所有的元素，这种情况称为A 包含 B.
证明集合相等
定理：设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A
n元集的子集
对于任意 n 元集合 A，它的 m 元 (0 ⩽ m ⩽ n) 子集个数为 Cmn 个,所以不同的子集个数为：C0n + C1n + · · · + Cnn = (1 + 1) n = 2 n
幂集
定义
- 设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即 P(A) = { x | x ⊆ A }
- x ∈ \in ∈ P(A) ⇔ x ⊆ A
说明
幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。
Example
集合的基本运算
并集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的并集定义为：
A ∪ B = { x | x ∈ \in ∈ A 或 x ∈ \in ∈ B }
交集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的交集定义为：
A ∩ B = { x | x ∈ \in ∈ A 并且 x ∈ \in ∈ B }
补集
设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：
A ‾ \overline{A} A = { x | x ∉ \notin ∈/ A }
绝对补集
~A = E - A = { x |x ∈ \in ∈ E 并且 x ∉ \notin ∈/ A }
差集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差集定义为：
A − B = { x | x ∈ \in ∈ A 并且 x ∉ \notin ∈/ B }
对称差集
设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称差集定义为：
- A ⊕ B = { x | (x ∈ \in ∈ A 并且 x ∉ \notin ∈/ B)或者(x ∉ \notin ∈/ A 并且 x ∈ \in ∈ B) }
- A ⊕ B = （ A - B ）∪（ B - A ）
- A ⊕ B = （ A ∪ B ）-（ A ∩ B ）
