定点加减运算
补码加减法
数用补码表示，符号位参见运算
原码乘法 :
乘法规则
操作数、结果用原码表示；
绝对值运算，符号单独处理；
被乘数（B）、累加和（A）取双符号位；
乘数末位（Cn）为判断位，其状态决定下部操作；
做N次循环（累加、右移） ；
定点补码一位乘法
1、A、B 取双符号位，符号参加运算；
2、 C取单符号位，符号参见移位，以决定最后是否修正；
3、 C末位设置附加位Cｎ+1 ,处置为0 ，CnCn+1 组成判断位，决定运算操作；
4 、 作 n步循环，若需作第n+1步，则不移位，仅修正。
补码加法
[ x ]补＋[ y ]补＝[ x＋y ]补 (mod 2)
特点：不需要事先判断符号，符号位与码值位一起参加运算。
符号位相加后若有进位，则舍去该进位数字。
在模2意义下,任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。
这是补码加法的理论基础。
例: x＝0.1001, y＝0.0101, 求 x＋y。
解: [x]补＝0.1001, [y]补＝0.0101
[x]补 0.1001
＋ [y]补 0.0101
[x＋y ]补 0.1110
例: x＝＋0.1011, y＝－0.0101, 求 x＋y。
解: [x]补＝0.1011, [y]补＝1.1011
[x]补 0.1011
＋[y]补 1.1011
[x＋y]补 10.0110补码减法
补码减法运算的公式：
[ x－y ]补＝[ x ]补－[ y ]补＝[ x ]补＋[－y ]补
例: x＝＋0.1101, y＝＋0.0110, 求 x－y。
解: [x]补＝0.1101
[ y]补＝0.0110, [－y]补＝1.1010
[x]补 0.1101
＋[－y]补 1.1010
[x－y]补 10.0111
x－y＝＋0.0111
例： x= -0.1101，y= -0.0110，求x-y=?
解： [x]补=1.0011
[y]补=1.1010 [-y]补=0.0110
[x]补 1.0 0 1 1
+ [-y]补 0.0 1 1 0
[x-y]补 1.1 0 0 1
∴x–y = -0.0111
- 溢出及与检测方法
在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1的现象,称为 “溢出”。
例: x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解： [x]补=0.1011 [y]补=0.1001
[x]补 0. 1 0 1 1
+ [y]补 0. 1 0 0 1
[x+y]补 1. 0 1 0 0
两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。
例: x= -0.1101, y= -0.1011, 求x+y。
解： [x]补=1.0011 [y]补=1.0101
[x]补 1. 0 0 1 1
+ [y]补 1. 0 1 0 1
[x+y]补 0. 1 0 0 0
两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。
发生错误的原因，是因为运算结果产生了溢出。
两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢；
两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
2.溢出的检测方法
[x]补 0. 1 0 1 1
+ [y]补 0. 1 0 0 1
[x+y]补 1. 0 1 0 0
[x]补 1. 0 0 1 1
+ [y]补 1. 0 1 0 1
[x+y]补 0. 1 0 0 0
(2) 双符号位法
一个符号位只能表示正、负两种情况，当产生溢出时，符号位的含义就会发生混乱。如果将符号位扩充为两位(Sf1、Sf2)，其所能表示的信息量将随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。
双符号位的含义如下：
Sf1Sf2 ＝ 00 结果为正数，无溢出
01 结果正溢
10 结果负溢
11 结果为负数，无溢出
即：结果的两个符号位的代码不一致时，表示溢出;
两个符号位的代码一致时，表示没有溢出。
不管溢出与否，最高符号位永远表示结果的正确符号。
溢出逻辑表达式为： V＝Sf1⊕Sf2
中Sf1和Sf2分别为最高符号位和第二符号位，此逻辑表达式可用异或门实现。
例 x= +0.1100, y= +0.1000, 求x+y。
解： [x]补=00.1100 [y]补=00.1000
[x]补 0 0. 1 1 0 0
+ [y]补 0 0. 1 0 0 0
0 1. 0 1 0 0
符号位出现“01”，表示已溢出，正溢。即结果大于+1
例 x= -0.1100, y= -0.1000, 求x+y。
解： [x]补=11.0100 [y]补=11.1000
[x]补 1 1.0 1 0 0
+ [y]补 1 1.1 0 0 0
1 0. 1 1 0 0
符号位出现“10”，表示已溢出，负溢出。即结果小于-1
(3) 利用进位值的判别法
[x]补 0 0. 1 1 0 0
+[y]补 0 0. 1 0 0 0
0 1. 1 0 0 0
[x]补 1 1.0 1 0 0
+[y]补 1 1.1 0 0 0
1 0.1 1 0 0
从上面例中看到：
当最高有效位有进位而符号位无进位时,产生上溢；
当最高有效位无进位而符号位有进位时,产生下溢。
（简单地说是正数相加为负数或负数相加为正数则产生溢出）
故溢出逻辑表达式为： V＝Cf⊕Co
其中Cf为符号位产生的进位,Co为最高有效位产生的进位。此逻辑表达式也可用异或门实现。
- 3.3 定点乘法运算
- 乘法的手工算法
设n位被乘数和乘数用定点小数表示
被乘数 [x]原＝xf . xn－1… x1x0
乘数 [y]原＝yf . yn－1… y1y0
则乘积
[z]原＝(xf⊕yf)＋(0. xn－1… x1x0)(0. yn－1… y1y0)
式中，xf为被乘数符号，
yf为乘数符号。
(1)乘积符号的运算规则：同号相乘为正，异号相乘为负。
(2) 手工运算过程：
设ｘ＝0.1101,ｙ＝0.1011
0. 1 1 0 1 (x)
0. 1 0 1 1 (y)
1 1 0 1
1 1 0 1
0 0 0 0
- 1 1 0 1
- 1 0 0 0 1 1 1 1 (z)
一般而言，设被乘数x,乘数y都是小于1的n位定点正数：
x=0.x1x2……xn <1
y=0.y1y2……yn <1
其乘积为：
x·y=x(0.y1y2……yn )
=x(y12-1 +y22-2 +…+ yn2-n )
= 2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(…+2-1(yn-1x+2-1(ynx+0))…)))
- 乘法的手工算法
形成递推公式
令zi表示第i次部分积，则根据从内到外的原则有：
z0 = 0,
z1 = 2-1(ynx+z0)
z2 = 2-1(yn-1x+z1)
┊
zi = 2-1(yn-i+1x+zi-1)
┊
zn = xy = 2-1(y1x+ zn-1)
特点：每次只需要相加两个数，然后右移一位。且相加的两个数（部分积和位积）都只有n位，因而不需要2n位的加法器。
3.原码一位乘法流程图
例：x=0.1101 , y=0.1011 , 求 x·y 。
4.原码一位乘硬件逻辑原理图
计数器：对移位的次数进行计数，以便判断乘法运算是否结束。
当计数器i=n时，计数器i的溢出信号使控制触发器Cx
置0，关闭时序脉冲T，乘法操作结束。
2 补码一位乘法
1.原码一位乘的缺点
原码一位乘法的主要问题是：符号位不能参与运算，
而补码乘法可以实现符号位直接参与运算。
二是对于采用补码存储的机器，从存储器中取出的是操作数的补码，需先将其转换成原码，这样很不方便，而且影响速度。
2.补码一位乘法的规律推导
(1)真值和补码之间的关系
设[x]补 = x0.x1x2…xn
(2) 补码的右移
在补码机器中，一个数不论其正负，连同符号位向右移一位，符号位保持不变，就等于乘1/2。
设 [x]补 = x0.x1x2…xn
(3) 补码乘法规则
1）、当被乘数x符号任意，乘数y符号为正时：
根据补码定义：
2）、 当被乘数x符号任意，乘数y符号为负时：
定点数二位乘法
乘数每两位的取值情况，一次求出对应于该两位的部分积。此时，只要增加少量逻辑电路，就可使乘法速度提高一倍。
1. 原码两位乘
乘数和被乘数都用原码表示。
两位乘数有四种可能组合，对应于以下操作：
00——相当于0·X。部分积Pi右移2位；
01——相当于1·X。部分积Pi+X，右移2位；
10——相当于2·X。部分积Pi+2X，右移2位；
11——相当于3·X。部分积Pi+3X, 右移2位。
例 假定X=0.100111，Y=0.100111
则：［-X］补=1.011001
X·Y=0.010111110001
如果最后一次操作欠下+4X，则最后一次右移2位后还需补充+X操作，+X后不再移位 。
补码两位乘
根据前述的布斯算法，将两步合并成一步，即可推导出补码两位乘的公式。假设上一步的部分积为［Pi］补，本步的部分积应为：
［Pi+1］补=｛［Pi］补+(Yn-i+1-Yn-i)·［X］补｝2-1
下一步的部分积应为：
［Pi+2］补=｛［Pi+1］补+(Yn-i-Yn-i-1)·［X补］｝2-1
将前一个公式中的［Pi+1］补代入［Pi+2］公式中：
补码两位乘
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