一、费马（Fermat）引理

费马（Fermat）引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(xo))，那么f’(x0)=0。

老猿认为费马引理就是说明，对于某定义区间内的函数极值点，如果该函数在极值点可导，则函数在该极值点的导数为0。体现在几何上，就是在曲线的最高点或最低点处，其切线平行于x轴。

如图3-1的C、D两点：

可以通过计算在极值点的左导数和右导数，并且二者必须相等就可以证明。

通常称导数等于0的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）。

二、罗尔定理

1、定理

罗尔（Rolle）定理又称为罗尔（Rolle）中值定理（Mean Value Theorem），定理内容如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b] 上连续
2. 在开区间 (a,b) 内可导
3. f(a)=f(b)

则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。

2、几何意义

罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为y=f(x)，x∈[a, b] ）是一条连续的曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。

3、证明

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值（假设为极大值），则f’(ξ)等于下面公式：
   
   由于f（x）在ξ处连续，可以得出x无论是从左边还是右边趋向ξ，上述结论都成立，即：
   
   由于f(x) 在 ξ 处为极大值在x趋近于ξ 的两边，无论x从哪边趋向 ξ，f(x)-f( ξ)的值和符号都应相同，但x- ξ则相反：
   
   因此要使得二者相等，唯一的条件是二者的值为0。

4、几种特殊情况：

三、拉格朗日（ Lagrange）中值定理

1、定理

如果函数 f(x) 满足：

1. 在闭区间[a,b]上连续；
2. 在开区间(a,b)内可导。

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 ：

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)

成立，或：

f′(ξ) =(f(b)-f(a)) / (b-a)

或存在0<θ<1，使：

f(b)-f(a) = f′(a+θ(b-a)) (b-a)

成立。

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 也称为拉格朗日中值公式，后面两个式子是其简单变种。

2、几何意义

如图3-2：

(f(b)-f(a))/(b-a)是线段AB的斜率，f′(ξ)的值就是AB的斜率，也是点C的切线斜率，表明点C的切线与线段AB平行。

因此拉格朗日中值定理的几何意义为：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么弧AB上至少有一点C，使点C处的切线平行于直线弦AB。当f(a)=f(b)的情况下，AB平行于x轴，切线也平行于x轴，此时就是罗尔中值定理的情况，因此罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。

之所以先说函数的几何意义，是因为可以用于启发该公式的证明。

3、证明思路：

构造辅助函数g（x），使得：

1. 构造线段AB对应的函数L(x)，使得：
   L(x) = f(a)+ (f(b)-f(a))*(x-a)/(b-a)
2. f(x)-L(x)为图3-2垂直于x轴的线段MN的长度，其对应函数为：
   g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))*(x-a)/(b-a)
3. 对g(x)套用罗尔定理，可证明存在ξ，使得g’(ξ)=0，即可得到结论。

4、有限增量定理

设x为区间[a，b]内一点，x+Δx为这区间内的另一点(Δx>0或Δx<0)，则拉格朗日中值公式公式在区间[x，x+Δx](当Δx>0时)或在区间[x+Δx，x](当Δx<0时)上就成为：

f(x+Δx)-f(x)=f’(x+θΔx)·Δx         (0<θ<1)                    式(1-2)

这里数值θ在0与1之间，所以x+θΔx是在x与x+Δx之间。如果记f(x)为y，那么(1-2)式又可写成：

Δy=f’(x+θΔx)·Δx        (0<θ<1)                    式(1-3)

由于函数的微分dy=f’(x)·Δx是函数的增量Δy的近似表达式，一般说来，以dy近似代替Δy时所产生的误差只有当Δx->0时才趋于零；而(1-3)式却给出了自变量x取得有限增量Δx(|Δx|不一定很小)时，函数增量Δy的准确表达式。

因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，(1-3)式称为有限增量公式。

拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称这定理为微分中值定理。

在某些问题中当自变量x取得有限增量Δx 而需要函数增量的准确表达式时，拉格朗日中值定理就显出它的价值。

5、推论

定理：如果函数f(x)在区间I上连续，I内(即不包含端点)可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
证明思路： 在区间I上任取两个不等的x1、x2，应用拉格朗日中值公式，即可证明。

四、柯西中值定理

1、基于参数方程的拉格朗日中值定理公式

假设拉格朗日中值定理对应函数y=f(x)用如下参数方程来表示：

x = φ（t）
y = ψ（t），其中t为参数，且a≤t≤b

则曲线上点（x,y）处的斜率为：

连续曲线y=f(x)的弧AB对应的弦AB的斜率为：

假设点C对应于参数 t=ξ ，其切线平行于弦AB，则下式成立：

这是函数在参数方程形式下的拉格朗日中值定理的表达形式。

2、柯西中值定理

根据参数方程形式下的拉格朗日中值定理的表达形式，可以得到柯西中值定理：

如果函数f(x)及F(x)满足：

1. 在闭区间[a,b]上连续
2. 在开区间(a,b)内可导
3. 对任一x∈(a,b)，F’(x)≠0

那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使下列等式成立：

如果函数F(x)=x，则F’(x)=1，上述公式就变成了拉格朗日中值公式了。

证明思路：

构造辅助函数φ（x），使得：

对φ（x）套用罗尔定理，可证明存在ξ，使得φ’(ξ)=0，即可得到结论。

五、小结

本文介绍了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，相关定理内容从费马引理引出罗尔中值定理，从罗尔中值定理推导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。

可以看到：

• 费马引理说明了函数的驻点处导数为0
• 罗尔中值定理说明在区间内可导且区间端点值相等的函数在区间内至少有一个驻点
• 拉格朗日中值定理则反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率相等
• 柯西中值定理则反映了两个有相同定义域的可导函数在闭区间上的整体的平均变化率的比率与区间内某点二者的局部变化率的比率相等，也可以说是两个函数各自在端点值的差的比率与区间内某点各自的局部变化率的比率相等。

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