Introduction

目标函数 是 深度学习之心，是 模型训练 的 发动机 。

目标函数 (object function) = 损失函数 (loss function) = 代价函数 (cost function)

其中，模型loss 统称为 non-decay loss ，正则loss 称为 decay loss 。

作用：

计算 预测结果 与 真实标记 之间的 误差，并通过 误差反向传播 算法，指挥 着 模型参数 哗啦啦地 刷新 。

目标函数 类型

主要分为 分类任务目标函数 和 回归任务目标函数。此外往往会加上 附加任务目标函数 (为了 防止过拟合/求得稀疏解 而加入的 正则项 )。

分类任务

假设某分类任务共 $N$ 个训练样本，针对网络最后分类层的第 $i$ 个样本的输入特征为 $x_i$ ，其对应的真实标记为 y i ∈ { 1 , 2 , . . . , C } y_{i}\in\{1, 2, ..., C\} yi​∈{1,2,...,C} ，另 $h={(h_1,h_2,...,h_C)}^T$ 为网络的最终输出，即样本 $i$ 的预测结果，其中 $C$ 为分类任务类别数。

$y_i$：分类正确时为1，错误时为0；
$h_{y_i}$：分类正确的那一个 $h_j$，可能为负值。

Softmax损失函数

Softmax损失函数（softmax function），又名 交叉熵损失函数 (CE) 。

该函数 是重要的 深度学习目标函数，也是 Sigmoid函数 的一种 推广。可转换为交叉熵误差 (CE) 。

C E ( y ^ ) = − 1 N ∑ k = 1 N [ I { y = y ′ } log ⁡ ( p t ) ] CE(\hat{y}) = - \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N [I \{y=y'\} \log(p_t)] CE(y^​)=−N1​k=1∑N​[I{y=y′}log(pt​)]

只对gt所对应的单类 计算loss。
是 最常用 的分类任务目标函数。

合页损失函数

合页损失函数，hinge loss，主要被运用于SVM中。

L = 1 N ∑ i = 1 N max ⁡ { 0 , 1 − h y i } L={\frac{1}{N}}{\sum_{i=1}^N}\max\{0, 1-h_{y_{i}}\} L=N1​i=1∑N​max{0,1−hyi​​}

max ⁡ { 0 , 1 − h y i } \max\{0, 1-h_{y_{i}}\} max{0,1−hyi​​}：保证了每个单样本的损失值不为负。

效果略逊于交叉熵损失函数。

坡道损失函数

坡道损失函数，ramp loss function。

亮点是 增强了 抗噪能力 。

坡道损失函数 和 Tukey’s biweight 损失函数 并称 鲁棒损失函数 。

大间隔交叉熵损失函数

引入了SVM的思想，即在 要求 分类正确 之外，还 额外要求 分开的类 需保持较大间隔 。

较难训练。

但在 分类性能 方面 优于 交叉熵损失函数 和 合页损失函数。

中心损失函数

在 大间隔交叉熵损失函数 的 基础上，更进一步要求 减小类内差异 。

Focal Loss损失函数

对Softmax损失函数进行“类别平衡”约束。

回归任务

预测误差，即 残差 ，用于 衡量 模型预测值 与 真实标记 的 靠近程度 。

假设回归问题中，对应第 $i$ 个输入特征 $x_i$ 的真实标记为 $y^i=(y_1,y_2,...,y_M{)}^T$ ， $M$ 为标记向量总维度，则 $l_t^i$ 即表示样本 $i$ 上网络回归预测值 $({\hat{y}}^i)$ 与其真实标记在第 $t$ 维的预测误差 (亦称 残差) ：

$$l_t^i=y_t^i-{\hat{y}}_t^i$$

L1损失函数

$$L=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\sum _{t=1}^M|l_t^i|$$

Detection中常用的是 Smooth L1 。

L2损失函数

$$L=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\sum _{t=1}^M(l_t^i{)}^2$$

Tukey’s biweight 损失函数

可克服 离群点样本 和 噪声样本 所带来的 干扰，鲁棒性 强。

其他任务

某些 无法被 简单划归为 分类 或 回归 的任务，需要设计其他的目标函数。

Summary

[1] 深度学习: 分类 目标函数 (交叉熵误差(CE) -> 焦点损失(FL))