三维浅水方程

1 背景

2 浅水运动

3 二维浅水方程的推导

3.1 连续性方程

3.2 运动方程

4 总结

1 背景

在前面的文章中，我们介绍了适用于不可压缩牛顿流体的N-S方程。在实际的水动力学模拟中，除非我们需要研究具体的流动形态，在一般的河道水动力学模拟中，我们多关注水深、流速、流量的变化，且水深相对较浅，因此采用二维数学模型即可。

在本文中，我们介绍如何从三维模型沿水深积分平均获得二维模型。

2 浅水运动

浅水运动具有以下特点：

缓变流，具有自由表面；
以重力为主要驱动力，水流与固壁之间及水流内部的摩擦力为主要耗散力；
水平流速沿垂线近似均匀分布，不考虑实际存在的对数或者指数形式的垂线流速分布；
水平运动尺度远大于垂直运动尺度，垂向加速度可以忽略，水压力接近静压分布（波长比水深大得多）。

具体来说，需要满足下面几条要求：

水深相对较浅（如内陆河道中，而非海洋中）；
水底坡度较缓；
水面渐变且坡度较缓；
无明显垂直环流。

满足浅水假设的水体有：河流、湖泊、近海与河口等。

3 二维浅水方程的推导

前面的文章中我们介绍过，对N-S方程进行雷诺平均得到RANS方程如下

$\frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0 \ (j=1,2,3)$

$\frac{\partial{u_i}}{\partial t}+\frac{\partial u_iu_j}{\partial x_j}=F_i-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \tau_{Tij}}{\partial x_j} \ (j=1.2.3)$

其中 $\tau_{Tij} = \tau_{ij}-\rho \overline{u_i'u_j'}=\mu(\frac{\partial u_j}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})-\rho \overline{u_i'u_j'}$

上面式子中的ui与压力p均为时均值。

接下来我们对物理量在水深方向进行积分平均

$U_i=\frac{1}{H}\int_{z_b}^{z_s}u_idz$

$T_i=\frac{1}{H}\int_{z_b}^{z_s}\tau_{Tij}dz$

引入牛顿-莱布尼兹公式

$\frac{\partial }{\partial x_i}\int_{a}^{b}fdz = \int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x_i} dz +f|_b\frac{\partial{b}}{\partial x_i} - f|_a\frac{\partial{a}}{\partial x_i}$

$\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x_i}dz = \frac{\partial }{\partial x_i}\int_{a}^{b} f dz -f|_b\frac{\partial{b}}{\partial x_i} + f|_a\frac{\partial{a}}{\partial x_i}$

引入自由表面的运动学条件

$z_s=z_s(\overrightarrow{x},t)$

$u_z|_{z=z_s}=\frac{dz_s}{dt}=\frac{\partial z_s}{\partial{t}}+\frac{\partial z_s}{\partial{x_i}}u_i|_{z=z_s} , i=1,2$

引入底部运动学条件

$z_b=z_b(\vec{x}.t)$

$u_z|_{z=z_b}=\frac{dz_b}{dt}=\frac{\partial z_b}{\partial{t}}+\frac{\partial z_b}{\partial{x_i}}u_i|_{z=z_b} , i=1,2$

3.1 连续性方程

对连续性方程沿水深方向进行积分

得到二维水流连续性方程为

$\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial hu_x}{\partial x}+\frac{\partial hu_y}{\partial y} = 0$

其中h为水深，ux为沿x方向流速，uy为沿y方向流速。

3.2 运动方程

运动方程沿水深方向进行积分

$\frac{\partial{u_i}}{\partial t}+\frac{\partial u_iu_j}{\partial x_j}=F_i-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \tau_{Tij}}{\partial x_j} \ (j=1.2.3)$

该方程左边第一项为非定常项，第二项为对流项，右边第二项为压力项，第三项为扩散项。扩散项包括粘性扩散和紊动扩散。下面根据每一项进行积分平均。

首先是非定常项：

压力项沿垂线平均：

扩散项沿垂线平均：

对流项沿垂线平均：

在这一步后，若不引入动量修正系数，将流速沿水深方向分布不均匀的项单独列出，则是常见的二次流项。关于二次流项如何计算，目前已经有很多相关研究，常用的是将其视为旋流强度的函数。在关注二次流的情况下，如研究河段的曲率较大时，我们需要单独考虑二次流项。若河段较为顺直，二次流并不明显时，我们可以引入动量修正系数，将该问题进行化简。

综上，我们便得到了二维浅水方程的运动方程

$\frac{\partial }{\partial t}hu_x + \frac{\partial hu_xu_x}{x} + \frac{\partial hu_xu_y}{\partial y} = -\frac{g}{2}\frac{\partial h^2}{\partial x}-gh\frac{\partial z_b}{\partial x} + \frac{1}{\rho}[\frac{\partial (hT_{xx})}{\partial x} + \frac{\partial (hT_{xy})}{\partial y}] + \tau _{sx} -\tau _{bx}$

$\frac{\partial }{\partial t}hu_y + \frac{\partial hu_yu_x}{x} + \frac{\partial hu_yu_y}{\partial y} = -\frac{g}{2}\frac{\partial h^2}{\partial y}-gh\frac{\partial z_b}{\partial y} + \frac{1}{\rho}[\frac{\partial (hT_{yy})}{\partial y} + \frac{\partial (hT_{yx})}{\partial x}] + \tau _{sy} -\tau _{by}$

其中τs为风应力，如果计算工况风应力较小的话可以忽略该项；τb为河床阻力项，可以用曼宁公式进行计算。