信息安全数学基础-带余除法 2021.9.8

1. 整除的定义与性质

整除的定义

• 整数的因子总假定是正的

整除的基本性质

性质1

性质2

性质3

2. 带余除法

带余除法的定义

• 唯一性
• q：不完全商
• r：余数
• 用途：将两个数之间的整除关系的判定转化为计算问题

带余除法的存在性证明

带余除法的唯一性证明

思路：所有的q和r都是同一组数：即假设不唯一，推出矛盾

带余除法的余数

0<= r < b ：r为最小非负余数

|r| <= b/2 ：绝对值最小余数（在后面的Euclid算法中能起到算法加速的作用）

带余除法的例子

证明：
$$a{x}_0+b{y}_0|ax+by$$
若a ，b是任意两个不全为0的整数，ax0+by0是所有形如ax+by的整数中最小的正数，x , y是任意整数。

Floor函数：下取整

带余除法中的q实际上就是[a/b]

3. 整数的数字符号表示

不同的进制

b进制表示

$$\begin{gathered} n（任意整数）的b（大于1的整数）进制表示（其中t>=0,0<=ri<b）： \\ n=r_t{b}^t+r_{t-1}{b}^{t-1}+...+r_{1}b+r_0 \\ 常记为:（r_t...r_1{）}_b \end{gathered}$$

用带余除法求b进制表示

b进制表示的唯一性

十六进制

• 二进制到十六进制的基转换

其他形式的整数表示

BSD表示：带符号的二进制表示

对 整 数 k ， k = k n − 1 2 n − 1 + . . . + k 1 2 1 + k 0 2 0 , 其 中 k i ∈ { − 1 ， 0 ， 1 } , 0 < = i < n 为 k 的 长 度 为 n 的 带 符 号 二 进 制 表 示 对整数k，k=k_{n-1}2^{n-1}+...+k_12^1+k_02^0, \\其中k_i∈\{-1，0，1\},0<=i<n \\为k的长度为n的带符号二进制表示 对整数k，k=kn−1​2n−1+...+k1​21+k0​20,其中ki​∈{−1，0，1},0<=i<n为k的长度为n的带符号二进制表示

• 计算机技术、密码学、数字信号处理

NAF表示：非相邻形式的BSD表示

$$\begin{gathered} 对正整数k,(k_{n-1},...,k_0)为一种BSD表示， \\ 若其中没有两个连续的k_i是非零的，则称它是非相邻形式表示，记作NAF表示 \end{gathered}$$

• 椭圆曲线密码体制中的加速计算

4. 最大公因子

公因子与最大公因子

• 最大公因子记为（a,b）
• 0和0的最大公因子定义为0

最大公因子的平凡求解

最大公因子的求解方法

欧几里得（Euclidean）算法

重要预备定理：

$$设a,b,c为三个正整数，且a=bq+c，其中q为整数，则(a,b)=(b,c)$$

证明：

1. a , b的公因子是b , c的公因子
2. b , c的公因子是a , b的公因子

欧式算法（辗转相除法）

利用绝对值最小余数代替最小非负余数，可减少算法的带余除法次数从而提高效率