同余是数学中一个重要的概念，相当于取模运算的等价关系，即若两个整数a,b在模m的意义下余数相等，则称之为同余。我们可以使用符号a ≡ b(mod m)来表示。此处需要特别注意的是m必须为正整数。
下面是同余的几个常见性质：
- 自反性： ∀ a ∈ Z⑴ , a ≡ a (mod m)
解释：对于模数m和任意整数a，a mod m的余数为本身，所以a与本身在模m的意义下是同余的。
- 对称性： 若 a ≡ b (mod m) 则有 b ≡ a (mod m)
解释：如果a与b在模m的意义下是同余的，即a mod m = b mod m，则此时b也与a在模m的意义下是同余的。
- 传递性： 若 a ≡ b (mod m) 且 b ≡ c (mod m) 则有 a ≡ c (mod m)
解释：若a与b在模m的意义下同余，且b与c在模m的意义下同余，则此时a与c在模m的意义下也同余，即a mod m = b mod m 且 b mod m = c mod m，可以得到 a mod m = c mod m。
- 加、减、乘法混合运算的运算规律
（1）加法混合运算的运算规律
若a ≡ b(mod m)，则有a + c ≡ b + c(mod m)
证明： a ≡ b(mod m)，即 a - b = xm，那么 a + c = b + c + xm，因此 a + c ≡ b + c(mod m)
（2）减法混合运算的运算规律
若a ≡ b(mod m)，则有a - c ≡ b - c(mod m)
证明： a ≡ b(mod m)，即 a - b = xm，那么 a - c = b - c + xm，因此a - c ≡ b - c(mod m)
（3）乘法混合运算的运算规律
若a ≡ b(mod m)，则有 a × c ≡ b × c(mod m)
证明：a ≡ b(mod m)，即 a - b = xm，那么 a × c - b × c = c (a - b) = c xm，因此 a × c ≡ b × c(mod m)
最后需要指出的是，同余以及其性质在很多数学理论和应用中都有着广泛的应用，譬如，同余及其性质广泛地应用于密码学和加密算法中，还被用于证明很多重要的定理和结论，以实现对数学的深入理解。
⑴:符号“∀ a ∈ Z”表示“对于所有的整数a”，其中“∀”读作“任意”或“对于所有”，“∈”读作“属于”。因此，“∀ a ∈ Z”可以理解为“对于所有属于整数集合Z中的整数a”。其中，Z指代整数集合，即包含正整数、负整数和零的集合。
(2):逆元和我们平时所说的倒数是有一定的区别的，我们平时所说的倒数是指：a* (1/a) = 1，那么逆元和倒数之间的区别就是：假设x是a的逆元，那么 a * x = 1 (mod p)，也就是只多了一个取余的操作，这个取余的操作，就会保证a的逆元不一定只是a的倒数。
