从零开始学数据分析之——《线性代数》第五章矩阵的的特征值

5.1 矩阵的特征值与特征向量

5.1.1 矩阵的特征值与特征向量

定义：设A是n阶方阵，若对于数 $\lambda _0$ ，存在非零列向量 $\alpha$ ，使得

$A\alpha =\lambda _0\alpha$

则称 $\lambda _0$ 为矩阵A的一个特征值， $\alpha$ 为矩阵A的对应于特征值 $\lambda _0$ 的特征向量

定义： $\left | \lambda E -A \right |$ 称为A的特征多项式， $\left | \lambda E -A \right |=0$ 称为A的特征方程

5.1.2 特征值与特征向量的基本性质

性质：

1）n阶矩阵A与其转置矩阵 A^T 有相同的特征值

2）设n阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的n个特征值为 $\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _n$ ，则有

(1) $\sum_{i=1}^{n}\lambda _i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$ (迹)

（2） $\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _n=\left | A \right |$

3）n阶矩阵A可逆的充要条件是A的所有特征值都不等于零

4）n阶矩阵A的互不相同的特征值 $\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _m$ 对应的特征向量 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _m$ 线性无关

5）k重特征值对应的线性无关的特征向量个数 $\leqslant k$

其他性质：

设 $\lambda$ 是n阶矩阵A的特征值，则

1） $k\lambda$ 是kA的特征值（k为常数）

2） $\lambda ^k$ 是 A^k 的特征值（k是正整数）

3）若 $\lambda$ 是n阶矩阵的特征值， $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdot \cdot \cdot +a_1x+a_0$ ，则 $f(\lambda )$ 是 $f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdot \cdot \cdot +a_1A+a_0E$ 的特征值

4）若矩阵A可逆，则 $\frac{1}{\lambda }$ 是 $A^{-1}$ 的特征值， $\frac{1}{\lambda }\left | A \right |$ 是其伴随矩阵 A^* 的特征值

5.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件

5.2.1 相似矩阵的概念

定义：设A与B是n阶矩阵，若存在n阶矩阵P，使得

$P^{-1}AP=B,$

则称矩阵A与B相似，记为A～B

性质：

1）反身性：A～A

2）对称性：若A～B，则B～A

3）传递性：若A～B，B～C，则A～C

5.2.2 相似矩阵的性质

性质：

1）若A～B，则A与B有相同的特征值，从而 $\left | A \right |=\left | B \right |,tr(A)=tr(B)$

2）若A～B，则A可逆的充要条件是B可逆，而且当A，B都可逆时，有 $A^{-1}. B^{-1}$ 相似

3）若A～B，则 A^m ~ B^m (m为正整数)

5.2.3 矩阵与对角形矩阵相似的条件

定理：n阶矩阵A相似于对角线矩阵 $\wedge$ 的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

5.3 实对称矩阵的对角化

所有的实对称矩阵都能对角化

5.3.1 向量的内积与正交向量组

内积： $(\alpha ,\beta )=a_1b_1+a_2b_2+\cdot \cdot \cdot +a_nb_n=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i=\alpha ^T\beta =\alpha \beta ^T$

内积的性质：

1）非负性： $(\alpha ,\alpha )\geqslant 0,$ 而且 $\left ( \alpha ,\alpha \right )=0$ 当且仅当 $\alpha =0$

2）对称性： $\left ( \alpha ,\beta \right )=\left ( \beta ,\alpha \right )$

3）齐次性： $(k\alpha ,\beta )=k(\alpha ,\beta )$

4）线性性： $\left ( \alpha +\beta ,\gamma \right )=\left ( \alpha +\gamma \right )+\left ( \beta +\gamma \right )$

向量的长度（范数/模）

$\left \|\alpha \right \|=\sqrt{\left ( \alpha ,\alpha \right )}$ , $\left ( \alpha ,\alpha \right )=\left \| \alpha \right \|^{2}$

单位向量：长度为1的向量

单位化或标准化： $\frac{1}{\left \| \alpha \right \|}\alpha$

长度的性质：

1）非负性： $\left \|\alpha \right \|\geqslant 0$

正交（垂直）： $\left ( \alpha ,\beta \right )=0$ , $\partial \perp \beta$

正交向量组：不含有零向量，向量两两正交

标准正交向量组：正交向量组中每一个向量都是单位向量

定理： $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ 是正交向量组，则 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ 必线性无关

5.3.2 施密特正交化

给一组无关的 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ ，求与之等价的正交的 $\beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot ,\beta _s$ :

$\beta _1=\alpha _1$

$\beta _2=\alpha _2-\frac{\left ( \alpha _2,\beta _1 \right )}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1$

$\beta _3=\alpha _3-\frac{(\alpha _3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2$

```````

第一步：施密特正交化

第二步：施密特单位化

5.3.3 正交矩阵

定义：设A为n阶矩阵，且 A^TA=E ，则称A为正交矩阵

性质：

1）若A为正交矩阵，则 $\left |A \right |=-1$ 或1

2）若A为正交矩阵，则 $A^{-1}=A^T$ ，且 $A^{-1}$ 和 A^T 为正交矩阵

3）若A，B均为n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵

4）若A是n阶正交矩阵， $\alpha ,\beta$ 是n维列向量，则 $(A\alpha ,A\beta )=\left ( \alpha ,\beta \right )$

定理：n阶矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组是标准正交向量组

5.3.4 实对称矩阵的对角化

定理：n阶实对称矩阵A的n个特征值都是实数，且其特征向量是实向量

定理：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量必正交

定义：设A，B为同阶矩阵，若存在同阶正交矩阵P，使得 $p^{-1}AP=B$ ，则称矩阵A与B正交相似

定理：设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 $Q^{-1}AQ=\wedge$

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