阿贝尔群（或交换群）是数学中的一个概念，特别是在代数学和群论中。阿贝尔群是满足以下条件的一个群：
- 封闭性：群中的任意两个元素的运算结果仍在群内。
- 结合律：群中的任意三个元素a，b，c，满足(ab)c=a(bc)。
- 单位元存在：存在一个元素e，使得对群中的任意元素a，都有ea=ae=a。
- 逆元存在：群中的任意元素a，都存在一个元素a’，使得a*a’=a’*a=e。
以上四条性质是任何群都必须满足的。而阿贝尔群还需要满足一个额外的性质：
- 交换律：群中的任意两个元素a，b，满足ab=ba。
阿贝尔群得名于挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔。整数加法群、实数加法群、复数加法群、矩阵加法群等都是阿贝尔群的例子。
阿贝尔群的概念在许多数学领域中都有重要应用，包括数论、代数、拓扑学等。
阿贝尔群（也被称为交换群）的例子有很多，以下是其中的一些：
- 整数加法群（Z，+）：这个群由所有的整数组成，运算是普通的加法。很明显，任何两个整数相加仍然是整数，加法满足结合律，0是单位元，每个整数n的逆元是-n，而且加法满足交换律。
- 实数加法群（R，+）：这个群由所有的实数组成，运算也是普通的加法。这个群的性质与整数加法群类似，只是元素变成了所有的实数。
- 复数乘法群（C{0}，*）：这个群由所有的非零复数组成，运算是普通的乘法。任何两个非零复数相乘仍然是非零复数，乘法满足结合律，1是单位元，每个非零复数z的逆元是1/z，而且乘法满足交换律。
- 有理数的乘法群（Q{0}，*）：这个群由所有的非零有理数组成，运算是普通的乘法。任何两个非零有理数相乘仍然是非零有理数，乘法满足结合律，1是单位元，每个非零有理数q的逆元是1/q，而且乘法满足交换律。
- n阶循环群：这个群有n个元素，通常被记作Z/nZ或者Cn。群的元素可以看作是整数0, 1, …, n-1，运算是模n的加法。这个群的性质也很容易验证。
以上的例子都是无限群，除了n阶循环群是有限的。在这些例子中，群的运算都是我们熟悉的加法或者乘法，但在更复杂的情况中，群的运算可能是更抽象的运算。
